Un insieme è un concetto matematico primitivo, può comunque essere definito come una collezione di oggetti matematici che hanno una proprietà in comune, ovvero un raggruppamento di oggetti di cui si può stabilire inequivocabilmente l’appartenenza o meno al raggruppamento. Gli oggetti appartenenti all’insieme sono detti suoi elementi e vengono indicati con lettere minuscole, mentre gli insiemi con lettere latine maiuscole.

Il termine collezione non ha lo stesso significato che ha in italiano, ma è sinonimo di classe, aggregato, di insieme appunto. Se un elemento x appartiene a un insieme X si scrive x ∈ X, altrimenti x / X e si legge rispettivamente x appartenente ad X e x non appartenente ad X.  L’insieme non composto da alcun elemento è detto insieme vuoto e si indica con ∅.

L’insieme vuoto ∅ è quello non composto da alcun elemento ed è diverso dall’insieme composto dal solo numero 0. Quest’ultimo, come tutti gli insiemi composti da un solo elemento, è detto insieme unitario.

Una  proprietà relativa a un elemento di un insieme viene introdotta facendo seguire il simbolo dell’elemento dal simbolo | o equivalentemente da :, entrambi i simboli si leggono tale che. Se una proprietà vale per tutti gli elementi x ∈ X si usa il quantificatore universale, che ha simbolo ∀ e si legge per ogni. L’esistenza di un elemento è invece indicata dal quantificatore esistenziale che ha simbolo ∃ e si legge esiste.

Ad esempio scegliendo come X l’insieme di numeri interi positivi e negativi si ha che per ogni numero x esiste il suo opposto x^l, proposizione che nella simbologia degli insieme si scrive ∀x ∈ X ∃ x^l|x^l= −x .

Quando una proprietà o una proposizione discende da un’altra proposizione si usa il simbolo di implicazione, che si legge implica o allora; spesso la prima condizione è preceduta dalla parola se. Quando due proposizioni sono equivalenti o meglio quando si implicano a vicenda allora si usa il simbolo ⇔ che si legge se e solo se.

Il simbolo di inclusione propria ricorda il simbolo di minore: la parte di ampiezza minore è quella che punta verso il sottoinsieme. Come il simbolo di minore anche quello di inclusione può essere invertito: A ⊂ B ⇒ B ⊃ A. Analogamente l’inclusione impropria ricorda il simbolo di minore o uguale e può anch’esso essere invertito: A ⊆ B ⇒ B ⊇ A.

Se due insiemi non hanno elementi in comune si dicono disgiunti. L’insieme maggiore che si può definire di volta in volta viene detto insieme universo U o insieme ambiente. Tutti gli insiemi sono quindi sottoinsiemi di U.

In termini più intuitivi si può affermare che se un insieme è composto da un numero finito, cioè limitato, di elementi allora è detto insieme finito, altrimenti è un insieme infinito. È ad esempio infinito l’insieme dei punti di un segmento di lunghezza qualsiasi. Per un insieme finito il numero n di elementi che lo compongono è detto cardinalità.

Un insieme può essere suddiviso in vari sottoinsiemi non vuoti disgiunti chiamati parti dell’insieme: le parti costituiscono una partizione dell’insieme. Elementi nella stessa partizione sono anche elementi di una classe di equivalenza. Per ogni insieme finito X formato da n elementi si ha la partizione formata dall’unica parte che coincide con X stesso, quella formata dalle n parti ognuna delle quali è un singolo elemento di X, quelle formate da due parti ovvero un qualsiasi sottoinsieme di X e il suo complemento. Il numero di partizioni di un insieme aumenta con la sua cardinalità ed è pari a 2ⁿ con n cardinalità di un insieme finito.