Vi sono tre operazioni principali tra insiemi: l’unione, l’intersezione e il complemento. Un importante risultato teorico dimostra che solo due qualsiasi di queste tre sono basilari, in quanto la terza si può esprimere in termini delle altre due.

Unione L’unione tra due o più insiemi è un insieme composto da tutti gli elementi che appartengono ad almeno uno degli insiemi. L’unione logicamente corrisponde alla congiunzione o e matematicamente all’addizione. L’unione viene indicata con il simbolo ∪: A ∪ B = {x|x ∈ A o x ∈ B}. Ad esempio l’unione tra l’insieme A dei primi due numeri pari e l’insieme B dei primi cinque numeri interi positivi è l’insieme A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}. Si deduce che se uno dei due insiemi è sottoinsieme dell’altro, come nel caso considerato in cui si ha A ⊂ B, allora l’unione coincide con l’insieme maggiore: nel nostro caso A ∪ B = B. L’unione gode della proprietà commutativa, ovvero scambiando l’ordine degli insiemi il risultato non cambia: A ∪ B = B ∪ A. (Fig. 01.03.01.01)
Intersezione L’intersezione tra due o più insiemi è un insieme composto da tutti gli elementi comuni, ovvero dagli elementi che appartengono contemporaneamente a tutti gli insiemi di cui si calcola l’intersezione. Logicamente corrisponde alla congiunzione e e matematicamente alla moltiplicazione. L’intersezione viene indicata con il simbolo ∩: A ∩ B {x|x ∈ A e x ∈ B}. (Fig. 01.03.01.02)

Ad esempio l’intersezione tra i due insiemi A e B usati per illustrare l’unione è A ∩ B = {2, 4}. Si deduce che A ⊂ B => A ∩ B = A, ovvero se uno dei due insiemi è sottoinsieme dell’altro l’intersezione tra i due coincide con l’insieme minore. Gli insiemi disgiunti sono quelli che per intersezione hanno l’insieme vuoto ∅, ovvero non hanno elementi in comune. L’intersezione gode della proprietà commutativa, ovvero scambiando l’ordine degli insiemi il risultato non cambia: A ∩ B = B ∩ A.

Diﬀerenza La diﬀerenza tra due insiemi è un insieme composto dagli elementi del primo insieme che non appartengono anche al secondo. Logicamente corrisponde alla congiunzione tranne e matematicamente alla sottrazione. La diﬀerenza tra due insiemi viene indicata con lo stesso simbolo della diﬀerenza tra numeri, il comune meno −, o con il simbolo \: A \ B = {x|x ∈ A e x ∉ B}. Ad esempio la diﬀerenza tra i due insiemi A e B degli esempi precedenti `e A \ B = ∅. Si deduce che se il primo insieme è sottoinsieme del secondo la diﬀerenza coincide con l’insieme vuoto ∅. La diﬀerenza non gode della proprietà commutativa, infatti cambiando ordine degli insieme l’insieme risultato è composto da elementi diversi. Per tornare all’esempio con A e B si ha infatti B \ A = {1, 3, 5}. (Fig. 01.03.01.03)
Complemento Per definire il complemento X^– di un insieme X occorre prima specificare l’insieme universo U . Si deﬁnisce complemento la diﬀerenza tra l’insieme universo e l’insieme scelto: X^– = U \ X. Logicamente il complemento corrisponde alla negazione non: X^– = {x|x ∉ X}.Si noti che il complemento del complemento di X coincide con X : X⁼ = X, ovvero una doppia negazione afferma. (Fig. 01.03.01.04)