Ognuno dei quattro tipi di proposizioni possiede numerose varianti, come mostrato in (Tab. 02.02.06.01). Sono proposizioni aristoteliche tutte le proposizioni che possiedono una delle forme di (Tab. 02.02.06.02) (Fig. 02.02.06.02).

I quattro tipi di proposizioni vengono indicati, rispettivamente, con le lettere A, E, I, O e disposti ai vertici di un quadrato. Nel quadrato le proposizioni contraddittorie si trovano ai vertici delle due diagonali: la contraddittoria di A è O e viceversa, la contraddittoria di E è I e viceversa (Fig. 02.02.06.01). Quando un esercizio chiede quale sia la negazione di una data proposizione, ci sta in realtà chiedendo di individuare la sua contraddittoria, perchè in logica negare equivale a contraddire.

Due proposizioni si dicono contraddittorie quando se una è vera l’altra è necessariamente falsa e viceversa. Davanti ad un esercizio che ci chiede di individuare la negazione di una proposizione data, non dobbiamo fare altro che individuare il tipo della proposizione di partenza e successivamente associarla alla sua contraddittoria secondo la regola della diagonale. Vediamo un esempio:

Negare che ogni uomo ha un nemico equivale a dire che:

1. esistono uomini senza nemici
2. nessun uomo ha un nemico
3. tutti gli uomini non hanno nemici
4. tutti sono nemici di ogni uomo
5. ogni uomo non ha un nemico

L’esercizio chiede di individuare la negazione di ogni uomo ha un nemico. Il primo passo è individuare a quale tipologia appartiene la proposizione data: ogni  uomo  ha un  nemico è una universale affermativa e quindi sarà del tipo A. La sua negazione sarà quindi una proposizione di tipo O, particolare negativa. Tra le opzioni di risposta l’unica proposizione di tipo O è quella alla risposta (A), esistono uomini senza nemici, che è infatti la risposta corretta. L’esercizio è virtualmente terminato, se si analizzano le altre opzioni si scopre che nessuna è di tipo O e quindi nessuna può essere la negazione della proposizione di partenza. In altri casi l’esercizio chiede di individuare quale proposizione è deducibile da quella data. Anche in questi casi è necessario individuare il tipo della proposizione di partenza e successivamente cercare tra le opzioni una proposizione che sia da essa deducibile.

Affinché una proposizione sia deducibile da una proposizione aristotelica deve:

• essere equivalente alla proposizione data (cioè dello stesso tipo)

• essere vera quando la proposizione di partenza viene affermata.

Vediamo un esempio:

Se affermo nessun elefante ha tre zampe, allora deduco che:

1. almeno un elefante ha tre zampe
2. tutti gli elefanti hanno un numero di zampe diverso da tre
3. almeno un elefante ha un numero di zampe diverso da tre
4. tutti gli elefanti hanno tre zampe
5. tutti gli elefanti hanno quattro zampe

Ragioniamo innanzitutto nel modo solito. La risposta corretta è la B. La parola chiave è nessuno, un termine che esclude alternative. La soluzione  A pertanto è sbagliata perché il termine nessuno non ammette eccezioni. La stessa ragione porta ad escludere la risposta C. La soluzione D afferma esattamente il contrario rispetto alla premessa. La risposta E è il distrattore. Anche in questo caso le risposte non devono considerare il contenuto della frase, né la conoscenze pregresse. Valutando esclusivamente la premessa non siamo in diritto di asserire che gli elefanti abbiano 4 zampe. La risposta corretta è pertanto la  B , in quanto afferma esattamente quanto dichiarato nella premessa. Nessun elefante ha tre zampe, equivale a dire che tutti gli elefanti hanno un numero di zampe diverso da tre. Analizziamo ora il quesito alla luce delle tipologie contraddittorie indicate dalle diagonali del quadrato. La proposizione di partenza è di tipo E, universale negativa, quindi per prima cosa cercheremo tra le opzioni di risposta altre proposizioni di tipo E. L’opzione A contiene una  proposizione  di  tipo  I,  che  sappiamo  essere  la  negazione  di  E  e  che  quindi  non è equivalente alla proposizione di partenza. L’opzione B contiene una proposizione di tipo  E,  cioè  dello  stesso  tipo  della  proposizione  di partenza  (Tab. 02.02.06.01) ed è  quindi  la  risposta  corretta.  Se  si  procede  con  l’analisi  si  nota come  tutte  le  altre proposizioni non sono di tipo E e quindi non sono necessariamente deducibili dalla proposizione data. Vediamo un esempio in cui la proposizione deducibile non è equivalente a quella data:

La  frase  Non  c’`e  casa  senza  scale  implica  che. . .

1. Nessuna casa ha due scale
2. Ogni casa ha due scale
3. Qualche casa ha una scala
4. Ogni casa ha almeno una scala
5. Qualche casa non ha una scala

La  proposizione  di  partenza  corrisponde  ad  una  proposizione  di  tipo  O  (c’`e  una  casa senza scale, particolare negativa) a cui è anteposta una negazione (non). Poichè tra le opzioni non ci sono altre proposizioni di tipo O con una negazione anteposta, dobbiamo cercare quale proposizione è sicuramente vera quando la proposizione di partenza viene affermata. La richiesta dell’esercizio va quindi interpretata nel modo seguente: quando affermiamo che è falso che c’`e una casa senza scale, quale proposizione è sicuramente vera? La  proposizione  sicuramente  vera  quando  una  proposizione  di  tipo  O è  falsa è  la  sua contraddittoria, ovvero una proposizione di tipo A. Tra le opzioni presentate la B e la D sono di tipo A, ma la B introduce un dato nuovo che non è presente nella proposizione di  partenza  (le  case  con  due  scale) e quindi può essere deducibile.  La  risposta corretta è quindi la D. Vediamo un ultimo esempio:

A quale delle seguenti affermazioni equivale la frase: Non tutti i miopi portano gli occhiali ?

1. Non vi è un miope che non porti gli occhiali
2. Nessun miope porta gli occhiali
3. Tutti i miopi portano gli occhiali
4. C’è almeno un miope che non porta gli occhiali
5. Tutti i miopi evitano di portare gli occhiali

La proposizione di partenza contiene una proposizione di tipo A tutti i miopi portano gli occhiali a cui è anteposto un non. La richiesta dell’esercizio può essere quindi riformulata in questo modo: qual è la negazione di tutti i miopi portano gli occhiali? La risposta sarà quindi l’opzione che contiene una proposizione di tipo O, ovvero l’opzione D.