Quando i termini non sono tutti crescenti o tutti decrescenti allora le considerazioni svolte sinora non sono più efficaci. Ci sono principalmente due possibilità, in questa sezione esploriamo la prima. Scomponiamo la sequenza in due sottosequenze, una composta dai termini di posto dispari (il primo, il terzo, etc.) e una da quelli di posto pari (il secondo, il quarto, etc.). I termini devono essere almeno 6. Consideriamo la sottosequenza cui non appartiene l’elemento ignoto, che è composta da almeno 3 termini noti. Se esiste una legge co­stante che governa il passaggio tra il primo e il secondo termine della sottosequenza e tra il secondo e il terzo, allora deve esistere un’altra legge costante che governa i termini dell’altra sottosuccessione. Individuate le possibili relazioni ( come sommare un certo numero o moltiplicare per un certo numero) che legano il primo e il secondo termine della sottosequenza conte­nente il termine ignoto, si guardano le alternative e si vede quale di esse corrisponde alle possibilità trovate. Nella pratica è come se l’esercizio fosse diviso in due. La sottosequenza completa fa capire che il criterio che governa l’esercizio è quello di due serie, una di termini di posto pari e una di termini di posto dispari. A quel punto /’esercizio si riduce a determinare la legge, di solito semplice, che regola la sottosequenza con il termine ignoto.

Consideriamo l’esempio della sequenza (Fig. 05.01.04.01) Si nota subito che la serie non è monotona, perché dal 3 all’l diminuisce ma subito dopo dall’l al 6 aumenta. Il termine ignoto è il sesto, quindi appartiene alla sottosequenza di posto pari, cioè 1, 5, ?. Focalizziamo l’attenzione sui termini di posto dispari, ossia su 3, 6 e 12. È evidente che 6 è il doppio di 3 e 12 è il doppio di 6, quindi esiste una legge costante che governa questa sottoserie. Se ne deduce che deve esisterne una che regola l’altra serie. Possiamo solo considerare il passaggio da 1 a 5. Abbiamo due possibili regole: o è stato aggiunto 4 o si è moltiplicato per 5. Guardiamo dunque le alternative, tra cui dobbiamo cercare o 9 o 25.