È abbastanza frequente trovare quesiti che si ba­sano su una relazione di proporzionalità inversa tra due grandezze. Questa tipologia viene anche denominata problemi di o sul lavoro. Ricordando la definizione fisica di potenza P come di rapporto tra lavoro L e tempo t, si ha la relazione P = L/t. Questa relazione unita alla proprietà invariantiva consente di risolvere numerosi problemi realizzando che il numero di persone corrisponde alla potenza P e il numero di oggetti finiti al lavoro L. Prima di illustrare un esempio ricordiamo le definizioni di proporzionalità diretta ed inversa. Due grandezze x e y sono direttamente proporzionali quando all’aumentare dell’una aumenta anche l’altra dello stesso fattore k chiamato coefficiente di proporziona­lità diretta, ovvero quando il loro rapporto è costante. Graficando una grandezza in funzione dell’altra si ottiene una retta passante per l’origine e con pendenza legata a k.

Sono ad esempio direttamente proporzionali il costo totale di un acquisto di tot oggetti identici e il numero di oggetti acquistati. Un ulteriore esempio di proporzionalità diretta si ha tra lo spazio percorso e il tempo trascorso in un moto rettilineo uniforme di un oggetto che è partito dall’origine di un sistema di riferimento. Due grandezze x e y sono inversamente proporzionali quando all’aumentare dell’una di un fattore k l’altra diminuisce di un fattore inverso 1/k, ovvero quando il loro prodotto è costante. k è chiamato coefficiente di proporzionalità inversa. Graficando una grandezza in funzione dell’altra si ottiene un ramo di iperbole equilatera.

Sono ad esempio inversamente proporzionali la velocità media e il tempo impiegato per percorrere un certo tratto. Un ulteriore esempio di proporzionalità inversa si ha tra la densità di un cubo omogeneo e il volume da esso occupato a parità di peso. Vediamo dunque come utilizzare la proporzionalità inversa, cioè il prodotto costante, per risolvere problemi in cui viene prodotto qualcosa (lavoro) in un certo tempo da alcune persone (potenza).

Se due operai impiegano 10 ore per montare 40 pezzi, quanto tempo occorre a 4 operai per montare 80 pezzi? In questi casi è opportuno ricavare l’unità di base, che qui corrisponde a quanti pezzi monta un operaio in un’ora. Ovviamente se due operai ne montano 40 in 10 ore nello stesso tempo un operaio ne monta 20. La proporzione è allora 10 : 20 = 1 : x. Risolvendola si ha 10 • x = 20 • 1 ovvero x = (20 • 1)/10 = 2. Si può allora calcolare il numero di pezzi montati da 4 operai in un’ora semplicemente moltiplicando per il numero di operai: 2 • 4 = 8. Dividendo il totale richiesto per il numero di pezzi montati all’ora si trova il numero di ore: 80/8 = 10.

Si poteva giungere alla soluzione notando che sia il numero di operai che il numero di pezzi montati sono raddoppiati. Poiché le due grandezze sono state moltiplicate per lo stesso fattore il tempo deve restare costante.