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1 di 5 Domande

Enea pone tre cerchi su un piano in modo che ognuno di essi sia tangente gli altri due e i loro centri siano i vertici di un triangolo rettangolo. Sapendo che le misure dei raggi dei cerchi sono espresse da numeri interi, quale delle seguenti terne può rappresentare le misure dei raggi dei cerchi?














La risposta corretta è la A.
La chiave di comprensione fondamentale riguarda la posizione dei centri delle circonferenze che coincidono con i vertici di un triangolo rettangolo. Si può infatti osservare che la somma dei due raggi delle circonferenze adiacenti costituisce uno dei cateti del triangolo rettangolo, mentre la somma dei raggi della circonferenza opposta costituisce l'ipotenusa del triangolo. Si può notare inoltre che ogni circonferenza è tangente alle altre due. Questa proprietà è essenziale per risolvere problemi geometrici che coinvolgono le circonferenze tangenti tra loro. La soluzione deve pertanto soddisfare l'equazione (R1 + R2)2 + (R1 + R3)2 = (R2 + R3)2, che rappresenta il Teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo con ipotenusa R2 + R3 e cateti R1 + R2 e R1 + R3. È evidente che l’unica soluzione che rende vera tale uguaglianza è: (2 + 3)2 + (2 + 10)2 = (3 + 10)2, cioè 25 + 144 = 169 (la risposta A è corretta).

2 di 5 Domande

Nell’ultima lezione di matematica il docente Alice ha ricordato ai suoi allievi che una funzione è derivabile solo se è continua e che se una funzione è continua allora è integrabile. Quale delle seguenti deduzioni effettuate da Nicolò, allievo di Alice, è corretta?














La risposta corretta è la B.
Alice ha affermato che se una funzione è derivabile, allora è anche continua. Inoltre, ha sostenuto che se una funzione è continua, allora è anche integrabile. Pertanto, se una funzione è derivabile, allora, per la prima affermazione di Alice, deve essere anche continua. Di conseguenza, in base alla seconda affermazione di Alice, la funzione deve essere integrabile. Da ciò si può dedurre che ogni funzione derivabile è anche integrabile (la risposta B è corretta).

3 di 5 Domande

Per la cena con gli amici Enea ha acquistato dal macellaio 10 fra pernici, piccioni e quaglie. Le pernici sono vendute al prezzo di 12 € cad., i piccioni al prezzo di 9 € cad. e le quaglie a 6 € cad. Se Enea ha acquistato almeno due esemplari di ogni volatile, quante pernici ha acquistato se la spesa per i volatili è stata di 81 €?














La risposta corretta è la D.
Dalle informazioni fornite, è noto che Enea ha speso un totale di 54 euro (2x 12 + 2 x 9 + 2 x 6 = 24 + 18 + 12 = 54 Euro) per acquistare sei esemplari, due pernici, due piccioni e due quaglie, ad un prezzo rispettivamente di 12 euro, 9 euro e 6 euro ciascuno. Dato che il totale della spesa per dieci esemplari è pari a 81 euro, è possibile dedurre che i restanti quattro esemplari hanno un costo totale di 81 - 54 = 27 euro. In caso Enea avesse scelto di acquistare un'ulteriore pernice, ci sarebbero stati soltanto 15 euro disponibili per acquistare i restanti tre esemplari. Tuttavia, anche optando per gli esemplari meno costosi, ovvero le quaglie a 6 euro ciascuna, Enea avrebbe dovuto spendere ulteriori 3 x 6 = 18 euro, superando così il budget disponibile. Di conseguenza, la scelta di Enea si è dovuta limitare ai due esemplari rimanenti, che quindi saranno entrambi pernici. In conclusione, Enea ha acquistato in totale due pernici (la risposta D è corretta).

4 di 5 Domande

La pasticceria Tommaso che vendeva pasticcini in confezioni da 12 pezzi al prezzo di 9 euro ciascuna, ha ridotto ora le confezioni a 10 pezzi, mantenendo il prezzo di 9 euro. Di quanto è aumentato in percentuale il prezzo di un pasticcino?














La risposta corretta è la E.
In seguito ad un'analisi di mercato, si è riscontrato che il prezzo di vendita di un pasticcino è passato da 9 Euro diviso 12, pari a 75 centesimi, a 9 Euro diviso 10, pari a 90 centesimi. Pertanto, l'incremento assoluto del prezzo di un singolo pasticcino è stato di 15 centesimi. È interessante notare che il valore percentuale dell'incremento assoluto è del 20%, ovvero esattamente pari al 20% del prezzo unitario iniziale di 75 centesimi. Tale risultato conferma la validità della relazione tra l'incremento percentuale e l'incremento assoluto, dimostrando come un aumento percentuale di una determinata quantità può essere facilmente calcolato mediante la formula dell'incremento percentuale, in cui il valore percentuale è dato dal rapporto tra l'incremento assoluto e il valore di partenza moltiplicato per 100 (la risposta E è corretta).

5 di 5 Domande

Quattro numeri naturali a, b, c, d sono tali che a < b < c < d. A quale dei quattro numeri Enea deve sommare 1 in modo che il prodotto dei tre numeri inalterati con quello modificato sia il più piccolo possibile?














La risposta corretta è la C.
Supponiamo l'aumento del valore di d di una unità, ovvero da d a d+1, si può dimostrare la validità della formula abc(d+1)=abcd+abc. Analogamente, considerando l'aumento del valore di c di una unità, ovvero da c a c+1, si può applicare la formula ab(c+1)d=abcd+abd. Tuttavia, poiché il valore di d è maggiore di quello di c, ovvero d > c, si ha che il prodotto abd risulta essere maggiore del prodotto abc. Pertanto, l'aumento minore del prodotto si ottiene aumentando il valore di d di una unità, invece che quello di c. Questo fenomeno dipende esclusivamente dal fatto che c è minore di d, ma anche dal fatto che d risulta essere maggiore di b e a. In questo modo, si può giungere alla conclusione che la risposta corretta alla domanda in esame è quella che indica il valore di d (la risposta C è corretta).

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